问题
解答题
已知函数f（x）=log2（2x+1）．
（1）求证：函数f（x）定义域内单调递增；
（2）记g（x）=log 2(2x-1)．若关于x的方程g（x）=m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围．
答案
（1）证明：任取x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=log2（2x1+1）-log2（2x2+1）=log22x1+1 2x2+1
∵x1＜x2，∴0＜
＜1，∴log22x1+1 2x2+1
＜02x1+1 2x2+1
∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在R上单调递增；
（2）∵g（x）=log 2(2x-1)，x＞0，
∴m=g（x）-f（x）=log 2(2x-1)-log2（2x+1）=log2（1-
）．2 2x+1
当1≤x≤2时，
≤2 5
≤2 2x+1
，2 3
∴
≤1-1 3
≤2 2x+1 3 5
∴m的取值范围是[log2
，log21 3
]．3 5