问题
解答题
已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=ax,(a∈R).
(1)判断函数f(x)的对称性和奇偶性;
(2)当a=2时,求使g2(x)f(x)=4x成立的x的集合;
(3)若a>0,记F(x)=g(x)-f(x),试问F(x)在(0,∞)是否存在最大值,若存在,求a的取值范围,若不存在,说明理由.
答案
(1)由函数f(x)=
可知,函数f(x)的图象关于直线x=a对称.x-a (x≥a) -x+a (x<a)
当a=0时,函数f(x)=|x|,显然是一个偶函数;
当a≠0时,取特殊值:f(a)=0,f(-a)=2|a|≠0.
即f(-x)≠
,f(x) -f(x)
故函数f(x)=|x-a|是非奇非偶函数.
(2)若a=2,且g2(x)f(x)=4x
可得:x2|x-2|=x,得 x=0 或 x|x-2|=1;
因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+
,2
故所求的集合为{0,1,1+
}.2
(3)对于 a>0,F(x)=g(x)-f(x)=ax-|x-a|=(a+1)x-a (0<x<a) (a-1)x+a (x≥a)
若a>1时,函数F(x)在区间(0,a),[a,+∞)上递增,无最大值;
若a=1时,F(x)=
有最大值为12x- 1 (x<1) 1 (x≥1)
若0<a<1时,F(x)在区间(0,a)上递增,在[a,+∞)上递减,F(x)有最大值 F(a)=a2;
综上所述得,当0<a≤1时,函数F(x)有最大值.