问题
解答题
在△ABC中，设向量
（1）求证：A+B=
（2）求sinA+sinB的取值范围； （3）若（sinAsinB）x=sinA+sinB，试确定实数x的取值范围． |
答案
（1）∵向量
=(sinA，cosB)，m
=(sinB，cosA)且n
∥m
，n
∴sinAcosA-sinBcosB=0，即sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，
化简可得A=B，或A+B=
，但A=B时有π 2
=m
，与已知矛盾，故舍去，n
故有A+B=
；π 2
（2）由（1）可知A+B=
，故sinA+sinB=sinA+sin（π 2
-A）π 2
=sinA+cosA=
sin（A+2
），π 4
∵0＜A＜
，∴π 2
＜A+π 4
＜π 4
，∴1＜3π 4
sin（A+2
）≤π 4 2
故sinA+sinB的取值范围是（1，
]；2
（3）由题意可知x=
=sinA+sinB sinA•sinB
，sinA+cosA sinA•cosA
设sinA+cosA=t∈（1，
]，则t2=1+2sinAcosA，故sinAcosA=2
，t2-1 2
代入可得x=
=t t2-1 2
=2t t2-1
≥2 t- 1 t
=22
-2 1 2 2
故实数x的取值范围为：[2
，+∞）2