∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，故f（-x）=f（x），

定义在R上的奇函数g（x），且g（x）=f（x-1），故有f（x-1）=-f（-x-1）=-f（x+1）=f（x+3），故T=4，

定义在R上的奇函数g（x）过点（-1，3），∴g（-1）=3，g（1）=-3

且g（x）=f（x-1），可得地f（-2）=3

由奇函数的性质知，g（0）=0，故f（-1）=f（1）=0

则f（2009）+f（2010）=f（1）+f（-2）=3

故答案为：3．