问题
解答题
已知函数f(x)=lnx，g(x)=
（Ⅰ）若a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域是增函数，求b的取值范围； （Ⅱ）在（Ⅰ）的结论下，设函数φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值； |
答案
（Ⅰ）由题设知：h（x）=lnx+x2-bx，且在（0，+∞）上是增函数，
∵h′(x)=
+2x-b1 x
∴
+2x-b≥0即b≤1 x
+2x对x∈（0，+∞）恒成立，1 x
∵x＞0，有
+2x≥21 x
.∴b的取值范围为(-∞，22
].（7分）2
（Ⅱ）设t=ex，则函数化为φ（x）=F（t）=t2+bt，t∈[1，2]．∵F(t)=(t+
)2-b 2
.b2 4
∴当-
≤1即-2≤b≤2b 2
时，F（t）在[1，2]上为增函数，[φ（x）]min=F（1）=b+1；2
当1＜-
＜2即-4＜b＜-2时，[φ(x)]min=F(-b 2
)=-b 2
；b2 4
当-
≥2即b≤-4时，F（t）在[1，2]上为减函数，[φ（x）]min=F（2）=2b+4；b 2
∴[φ(x)]min=
（14分）b+1 x∈[-2，2
]2 -
x∈(-4，-2)b2 4 2b+4 x∈(-∞，-4]