（1）∵f（x）为偶函数，

故log₄（4^-x+1）+（k-1）x=log₄（4^x+1）-（k-1）x对所有x∈R都成立，（2分）

即（2k-3）x=0对所有x∈R都成立，

∴k=

3

2

．（4分）

（2）由（1）得f(x)=log4(4x+1)-

x

2

，即f(x)=log4

4x+1

2x

．（2分）

log4(2x+

1

2x

)≥log42=

1

2

，

故当且仅当x=0时，（3分）

f（x）的最小值是

1

2

．（5分）

（3）由方程log4(4x+1)-

x

2

=log4(a•2x-

4

3

a)（*）

可变形为

4x+1 2x =a•2x- 4 3 a① a•2x- 4 3 a＞0②

，由②得

a＞0 2x＞ 4 3

或

a＜0 2x＜ 4 3

，

令2^x=t，则

a＞0 t＞ 4 3

，或

a＜0 0＜t＜ 4 3

由①得(a-1)(2x)2-

4

3

a•2x-1=0，设h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1（2分）

∴当a＞0时，(a-1)h(

4

3

)＜0⇒a＞1，（4分）

当a＜0时，h（0）=-1＜0，

∴h(

4

3

)＞0⇒a不存在，

当△=(-

4

3

a)2+4(a-1)=0时，a=

3

4

或a=-3，

若a=

3

4

，则t=-2，不合题意，舍去，若a=-3，则t=

1

2

，满足题意，（5分）

∴当a=-3或a＞1时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点．（7分）