问题
解答题
已知函数f（x）=
（1）判断其奇偶性； （2）指出该函数在区间（0，1）上的单调性并证明； （3）利用（1）、（2）的结论，指出该函数在（-1，0）上的增减性． |
答案
（1）函数的定义域为R
∵f(-x)=
=--x 1+(-x)2
=-f(x)x 1+x2
∴f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在（0，1）上是增函数
证明：任取x1、x2满足0＜x1＜x2＜1则
f（x1）-f（x2）=
-x1 1+ x 21
=x2 1+ x 22 (x1-x2)(1-x1x2) (1+
)(1+x 21
)x 22
∵0＜x1＜x2＜1，
∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1，
∴f（x1）＜f（x2）
因此函数f（x）在（0，1）上是递增函数；
（3）由于f（x）是R上的奇函数，在（0，1）上又是递增函数，
因而该函数在（-1，0）上也是增函数．