问题
解答题
已知圆C：（x-a）2+（y-2）2=4（a＞0）及直线l：x-y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为2
（Ⅰ）a的值； （Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程． |
答案
（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，
则圆心到直线l：x-y+3=0的距离d=
=|a-2+3| 12+(-1)2
，|a+1| 2
由勾股定理可知d2+(
)2=r2，代入化简得|a+1|=2，2 2 2
解得a=1或a=-3，
又a＞0，所以a=1；
（Ⅱ）由（1）知圆C：（x-1）2+（y-2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2
由（3，5）到圆心的距离为
=4+9
＞r=2，得到（3，5）在圆外，13
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y-5=k（x-3）
由圆心到切线的距离d=
=r=2，|-2k+3| k2+1
化简得：12k=5，可解得k=
，5 12
∴切线方程为5x-12y+45=0；
②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．
由①②可知切线方程为5x-12y+45=0或x=3．