由题意得，60、90都是y的约数，

∴y=180k（k取正整数），

又∵y≤1000，

则k≤5；

①当k=1时，y=180，

∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，

∴可得x=120，z=90，

则（x，z）=（120，90），此时有1组解．

②当k=2时，y=360，

∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，

没有符合题意的x和z，此时没有解．

③当k=3时，y=540，

∵（x，y）=60，（y，z）=90，[z，x]=360，

则（x，z）=（120，90），此时有1组解．

④当k=4时，y=720，

∵（x，y）=60，（y，z）=90，

∴可得x=60，z=90，

又∵[z，x]=360，

∴没有符合题意的x和z，此时没有解．

⑤当k=5时，y=900，

∵（x，y）=60，（y，z）=90，

∴可得x=60或120或360，z=90或360，

又∵[z，x]=360，

则（x，z）=（120，90），此时有1组解．

综上可得共有3组解．

故选A．