（1）由1+x＞0，1-x＞0得，-1＜x＜1，定义域为{x|-1＜x＜1}；

记h（x）=f（x）-g（x）=log

1

2

(1+x)-log

1

2

(1-x)，显然定义域关于原点对称，

∵h（-x）=f（-x）-g（-x）=log

1

2

(1-x)-log

1

2

(1+x)，∴h（-x）=-h（x），

所以f（x）-g（x）是奇函数．

（2）f（x）-g（x）＞0，即log

1

2

(1+x)＞log

1

2

(1-x)，

所以

1+x＞0 1+x＜1-x

，解得-1＜x＜0，

所以x的取值范围为（-1，0）．