问题
解答题
函数f(x)满足:(1)定义域是(0,+∞);(2)当x>1时,f(x)<2;(3)对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2.则
(1)求出f(1)的值;
(2)写出一个满足上述条件的具体函数;
(3)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明.
答案
(1)由题意对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2.
令x=y=1,可得f(1)=2f(1)-2∴f(1)=2
(2)f(x)=log
x+21 2
(3)设0<x1<x2,则
>1x2 x1
由已知x>1时,f(x)<2可得,f(
)<2x2 x1
∴f(x2)=f(
•x1)=f(x2 x1
)+f(x1)-2<2+f(x1)-2=f(x1)x2 x1
即f(x2)<f(x1)
∴函数f(x)在(0,+∞)单调递减