问题 解答题

函数f(x)满足:(1)定义域是(0,+∞);(2)当x>1时,f(x)<2;(3)对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2.则

(1)求出f(1)的值;

(2)写出一个满足上述条件的具体函数;

(3)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明.

答案

(1)由题意对任意x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y)-2.

令x=y=1,可得f(1)=2f(1)-2∴f(1)=2

(2)f(x)=log

1
2
x+2

(3)设0<x1<x2,则

x2
x1
>1

由已知x>1时,f(x)<2可得,f(

x2
x1
)<2

f(x2)=f(

x2
x1
x1)=f(
x2
x1
)+f(x1)-2
<2+f(x1)-2=f(x1

即f(x2)<f(x1

∴函数f(x)在(0,+∞)单调递减

单项选择题
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