问题
解答题
求所有的正整数对(a,b),使得ab2+b+7整除a2b+a+b.
答案
由条件ab2+b+7整除a2b+a+b,
显然ab2+b+7|a2b2+ab+b2,
而a2b2+ab+b2=a(ab2+b+7)+b2-7a,故ab2+b+7|b2-7a,
下面分三种情况讨论;
情形一:b2-7a>0;这时b2-7a<b2<ab2+b+7,矛盾;
情形二:b2=7a,此时a,b应具有a=7k2,b=7k,k是正整数的形式,显然(a,b)=(7k2,7k)满足条件;
情形二:b2-7a<0,这时由7a-b2≥ab2+b+7,则b2<7,
进而b=1或2,当b=1时,则条件
=a-7+a2+a+1 a+8
为正整数,57 a+8
57能被a+8整除,可知a+8=19或57,进而知a=11或49,
解得(a,b)=(11,1)或(49,1);
当b=2时,由
(<2)为正整数,可知7a-4 4a+9
=1,此时a=7a-4 4a+9
,矛盾;13 3
综上,所有解为(a,b)=(11,1),(49,1)或(7k2,7k)(k是正整数).