问题 解答题

求所有的正整数对(a,b),使得ab2+b+7整除a2b+a+b.

答案

由条件ab2+b+7整除a2b+a+b,

显然ab2+b+7|a2b2+ab+b2

而a2b2+ab+b2=a(ab2+b+7)+b2-7a,故ab2+b+7|b2-7a,

下面分三种情况讨论;

情形一:b2-7a>0;这时b2-7a<b2<ab2+b+7,矛盾;

情形二:b2=7a,此时a,b应具有a=7k2,b=7k,k是正整数的形式,显然(a,b)=(7k2,7k)满足条件;

情形二:b2-7a<0,这时由7a-b2≥ab2+b+7,则b2<7,

进而b=1或2,当b=1时,则条件

a2+a+1
a+8
=a-7+
57
a+8
为正整数,

57能被a+8整除,可知a+8=19或57,进而知a=11或49,

解得(a,b)=(11,1)或(49,1);

当b=2时,由

7a-4
4a+9
(<2)为正整数,可知
7a-4
4a+9
=1,此时a=
13
3
,矛盾;

综上,所有解为(a,b)=(11,1),(49,1)或(7k2,7k)(k是正整数).

单项选择题
单项选择题