问题
解答题
已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a，b，c，满足a+c=2b，且2cos2B=8cosB-5，
（1）求角B的大小；
（2）若a=2，求△ABC的面积．
答案
（1）∵2cos2B=8cosB-5，
∴2（2cos2B-1）-8cosB+5=0．
∴4cos2B-8cosB+3=0，即（2cosB-1）（2cosB-3）=0．
解得cosB=
或cosB=1 2
（舍去）．3 2
∵0＜B＜π，∴B=
．…（6分）π 3
（2）法一：∵a+c=2b．
∴cosB=
=a2+c2-b2 2ac
=a2+c2- (a+c)2 4 2ac 1 2
化简得a2+c2-2ac=0，解得a=c．
∴△ABC是边长为2的等边三角形．
∴△ABC的面积等于
…（12分）3
法二：∵a+c=2b，
∴sinA+sinC=2sinB=2sin
=π 3
．3
∴sinA+sin（
-A）=2π 3
，3
∴sinA+sin
cosA-cos2π 3
sinA=2π 3
．3
化简得
sinA+3 2
cosA=3 2
，∴sin（A+3
）=1．π 6
∵0＜A＜π，∴A+
=π 6
．π 2
∴A=
，C=π 3
，又∵a=2π 3
∴△ABC是边长为2的等边三角形．
∴△ABC的面积等于
．…（12分）3