（1）由f（-x）=（-x）²+bsin（-x）-2=f（x）得b=0．…（2分）

（2）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx所以g′(x)=2x+2+

a

x

(x＞0)…（4分）

依题意，2x+2+

a

x

≥0或2x+2+

a

x

≤0在（0，1）上恒成立…（6分）

即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立

由a≥-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，可知a≥0．

由a≤-2x2-2x=-2(x+

1

2

)2+

1

2

在（0，1）上恒成立，

可知a≤-4，所以a≥0或a≤-4．…（9分）

（3）h(x)=ln(1+x2)-

1

2

x2+1-k，令y=ln(1+x2)-

1

2

x2+1．

所以y′=

2x

1+x2

-x=-

(x+1)x(x-1)

x2+1

…（10分）

令y'=0，则x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y'	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值ln2+ 1 2	单调递减	极小值1	单调递增	极大值ln2+ 1 2	单调递减

所以当k＞ln2+

1

2

时，函数无零点；

当k＜1或k=ln2+

1

2

时，函数有两个零点；当k=1时，函数有三个零点．当1＜k＜ln2+

1

2

时，函数有四个零点．…（16分）