问题
解答题
定义在[-1，1]上的函数f（x）满足f（1）=1，且当a，b∈[-1，1]时，都有af（a）+bf（b）＞af（b）+bf（a）；
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论．
（2）若f（x）是奇函数，不等式mf（x）≤m2+m-3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
答案
（1）证明：设-1≤x1＜x2≤1，令a=x2，b=x1，
则x2f（x2）+x1f（x1）＞x2f（x1）+x1f（x2）
∴（x2-x1）f（x2）+（x1-x2）f（x1）＞0，
∴（x2-x1）[f（x2）-f（x1）]＞0
∵x2-x1＞0，
∴f（x2）＞f（x1），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）当m=0时，0≤-3不成立（舍去）
当m＞0时，∵f（x）在[-1，1]上是增函数，
∴f（x）≤f（1）=1
∴mf（x）≤m
∴m＞0 m2+m-3≥m
∴m≥3
当m＜0时，∵f（x）是奇函数，
∴f（-1）=-f（1）=-1，
∴-1≤f（x）≤1，
∴mf（x）≤-m
∴m＜0 m2+m-3≥-m
∴m≤-3
综上所述：m≥
或m≤-3．3