问题
解答题
已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：（x-3）2+（y+6）2=25．
（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度以及此时直线l的方程．
答案
（1）证明：∵2mx-y-8m-3=0，
∴（2x-8）m-（y+3）=0，
∴
，解得2x-8=0 y+3=0
，x=4 y=-3
∴直线l恒过（4，-3），
∵点（4，-3）到圆心（3，-6）的距离d=
=(4-3)2+(-3+6)2
＜r=5，10
故不论m为何实数值，直线l与圆C总相交．
（2）由（1）可知0≤d≤
，即d的最大值为10
．10
根据平面几何知识可知：当圆心到直线l的距离最大时，直线l被圆C截得的线段长度最短．
∴当d=
时，10
线段（即弦长）的最短长度为
2
=225-
p210
．（9分）15
将d=
代入①可得m=-10
，1 6
代入直线l的方程，
得直线被圆C截得最短线段时l的方程为x+3y+5=0．（12分）