问题
解答题
已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(
(1)求f(1)的值; (2)判断并证明f(x)的单调性; (3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值. |
答案
(1)∵定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f(
)=f(x1)-f(x2),x1 x2
∴当x1=x2时,f(1)=O.
(2)f(x)是减函数.
证明:设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(
),x1 x2
∵x1>x2,∴
>1,x1 x2
∵当x>1时,f(x)<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,
∴f(x)在区间(0,+∞)是减函数.
(3)∵f(1)=O f(3)=-1,
∴f(
)=f(1)-f(3)=0-(-1)=1,1 3
∴f(9)=f(3÷
)=f(3)-f(1 3
)=-1-1=-2,1 3
∵f(x)在区间(0,+∞)是减函数,
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)=-2.