（1）令x₁=x₂=0，依条件（3）可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0

又由条件（1）得f（0）≥0故f（0）=0（3分）

（2）任取0≤x₁＜x₂≤1可知x₂-x₁∈（0，1]，则

f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）

于是当0≤x≤1时，有f（x）≤f（1）=1因此当x=1时，f（x）取最大值1．（8分）

（3）证明：先用数学归纳法证明：当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，f（x）≤

1

2n-1

1⁰当n=1时，x∈(

1

2

，1]，f（x）≤f（1）=1=

1

20

，不等式成立．

当n=2时，x∈(

1

4

，

1

2

]，

1

2

＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）

∴f（x）≤

1

2

f（2x）≤

1

2

不等式成立．

2⁰假设当n=k（k∈N₊，k≥2）时，不等式成立，即x∈(

1

2k

，

1

2k-1

]时，f（x）≤

1

2k-1

则当n=k+1时，x∈(

1

2k+1

，

1

2k

]，记t=2x，则t=2x∈(

1

2k

，

1

2k-1

]，∴f（t）≤

1

2k-1

而f（t）=f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤

1

2

f（2x）=

1

2

f（t）≤

1

2(k+1)-1

因此当n=k+1时不等式也成立．

由1⁰，2⁰知，当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，f（x）≤

1

2n-1

又当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，2x＞

1

2n-1

，此时f（x）＜2x．

综上所述：当x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）时，有f（x）＜2x．（14分）