（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．

∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．…（2分）

即log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，log₄4^x=-2kx，…（4分）

∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．∴k=-

1

2

．…（6分）

（利用f（-1）=f（1）解出k=-

1

2

，可得满分）

（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x，

∴m=log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x+

1

2x

）．…（8分）

设u=2^x+

1

2x

，又设t=2^x，则u=t+

1

t

，由定理，知u_min=u（1）=2，…（10分）

∴m≥log₄2=

1

2

．故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥

1

2

．…（12分）

f(x)-

m

2

＞0⇔f(x)min＞

m

2

而f(x)min=

1

2

，

∴

1

2

＞

m

2

即m＜1，

综上所述，

1

2

≤m＜1…（14分）