问题
解答题
设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n)且当x>0时,0<f(x)<1
(1)求证:f(0)=1 且当x<0时,f(x)>1
(2)求证:f(x)在R上是减函数.
答案
证明:(1)∵对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),
令m=1,n=0,可得f(1)=f(1)•f(0),
∵当x>0时,0<f(x)<1,∴f(1)≠0.
∴f(0)=1.
令m=x<0,n=-x>0,
则f(m+n)=f(0)=f(-x)•f(x)=1,
∴f(-x)f(x)=1,
又∵-x>0时,0<f(-x)<1,
∴f(x)=
>1.1 f(-x)
(2)设x1<x2,则x1-x2<0,
根据(1)可知 f(x1-x2)>1,f(x2)>0.
∵f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)•f(x2)>f(x2),
∴函数f(x)在R上单调递减.