问题 解答题

设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n)且当x>0时,0<f(x)<1

(1)求证:f(0)=1 且当x<0时,f(x)>1

(2)求证:f(x)在R上是减函数.

答案

证明:(1)∵对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)•f(n),

令m=1,n=0,可得f(1)=f(1)•f(0),

∵当x>0时,0<f(x)<1,∴f(1)≠0.

∴f(0)=1.

令m=x<0,n=-x>0,

则f(m+n)=f(0)=f(-x)•f(x)=1,

∴f(-x)f(x)=1,

又∵-x>0时,0<f(-x)<1,

f(x)=

1
f(-x)
>1.

(2)设x1<x2,则x1-x2<0,

根据(1)可知 f(x1-x2)>1,f(x2)>0.

∵f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)•f(x2)>f(x2),

∴函数f(x)在R上单调递减.

综合
填空题