问题 解答题
在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a+c)cosB+bcosC=0
(1)求角B的大小
(2)若△ABC外接圆半径为
3
,求a+c的范围.
答案

(1)∵(2a+c)cosB+bcosC=0,

∴由正弦定理,得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0.

即2sinAcosB+(sinCcosB+cosCsinB)=0

∵sin(C+B)=sinCcosB+sinBcosC,且sin(C+B)=sin(π-A)=sinA,

∴2sinAcosB+sinA=0,即sinA(2cosB+1)=0.

∵A∈(0,π),可得sinA>0,∴2cosB+1=0,得cosB=-

1
2

结合B是三角形的内角,可得B=

3

(2)∵ABC外接圆半径为R=

3
,∴b=2RsinB=2
3
×sin
3
=3.

由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=9,

∴a2+c2-2accos

3
=9,化简得a2+c2+ac=9.

配方可得(a+c)2=9+ac,

∵ac≤[

1
2
(a+c)]2,∴(a+c)2≤9+
1
4
(a+c)2,解之得(a+c)2≤12,

因此a+c≤2

3
,当且仅当a=c时等号成立.

又∵△ABC中,a+c>b=3,

∴a+c的范围为(3,2

3
].

单项选择题
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