问题
解答题
在△ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a+c)cosB+bcosC=0 (1)求角B的大小 (2)若△ABC外接圆半径为
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答案
(1)∵(2a+c)cosB+bcosC=0,
∴由正弦定理,得(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0.
即2sinAcosB+(sinCcosB+cosCsinB)=0
∵sin(C+B)=sinCcosB+sinBcosC,且sin(C+B)=sin(π-A)=sinA,
∴2sinAcosB+sinA=0,即sinA(2cosB+1)=0.
∵A∈(0,π),可得sinA>0,∴2cosB+1=0,得cosB=-
.1 2
结合B是三角形的内角,可得B=
;2π 3
(2)∵ABC外接圆半径为R=
,∴b=2RsinB=23
×sin3
=3.2π 3
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=9,
∴a2+c2-2accos
=9,化简得a2+c2+ac=9.2π 3
配方可得(a+c)2=9+ac,
∵ac≤[
(a+c)]2,∴(a+c)2≤9+1 2
(a+c)2,解之得(a+c)2≤12,1 4
因此a+c≤2
,当且仅当a=c时等号成立.3
又∵△ABC中,a+c>b=3,
∴a+c的范围为(3,2
].3