问题
解答题
| 已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立，③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2． （1）试求函数f（x）的最大值和最小值； （2）试比较f（
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答案
（1）设0≤x1＜x2≤1，则必存在实数t∈（0，1），使得x2=x1+t，
由条件③得，f（x2）=f（x1+t）≥f（x1）+f（t）-2，
∴f（x2）-f（x1）≥f（t）-2，
由条件②得，f（x2）-f（x1）≥0，
故当0≤x≤1时，有f（0）≤f（x）≤f（1）．
又在条件③中，令x1=0，x2=1，得f（1）≥f（1）+f（0）-2，
即f（0）≤2，∴f（0）=2，
故函数f（x）的最大值为3，最小值为2．
（2）在条件③中，令x1=x2=
，得f(1 2n
)≥2f(1 2n-1
)-2，1 2n
即f(
)-2≤1 2n
[f(1 2
)-2]，1 2n-1
故当n∈N*时，有f(
)-2≤1 2n
[f(1 2
)-2]≤1 2n-1
[f(1 22
)-2]≤…≤1 2n-2
[f(1 2n
)-2]=1 20
，1 2n
即f(
)≤1 2n
+2．1 2n
又f(
)=f(1)=3≤1 20
+2，1 20
所以对一切n∈N，都有f(
)≤1 2n
+2．1 2n