问题 填空题

已知在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P为对角线AC上一点,过P作BP的垂线交直线AD于点Q,若△APQ为等腰三角形,则AP的长度为______.

答案

分为两种情况:①点Q在AD上时,∠AQP是钝角,只有AQ=AP,

即∠QAP=∠QPA,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ABC=∠BAD=90°,

∵BP⊥PQ,

∴∠BPQ=90°,

∴∠BAP=∠BPA,

∴AB=BP,

即BQ垂直平分AP,

∴AE=EP,

∵∠ABC=∠AEB,∠BAE=∠BAE,

∴△ABE△ACB,

AB
AC
=
AE
AB

3
5
=
AE
3

∴AE=

9
5

∴AP=2AE=

18
5

②在Rt△ABC中,AB=3,∠ABC=90°,BC=4,由勾股定理得:AC=5,

点Q在DA延长线上,显然∠QAP是钝角,有AQ=AP,∠Q=∠APQ,

∵∠Q+∠AEQ=∠PBE+∠PEB=90°,

∴∠Q=∠PBE=∠APQ

∵∠APQ+∠BPC=∠PBE+∠PBC=90°

∴∠BPC=∠PBC,

∴CP=CB=4,

∴AP=5-4=1,

故答案为:

18
5
或1.

单项选择题
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