问题
解答题
函数f(x)=
（1）求集合A； （2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围； （3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值． |
答案
（1）令
=t≥1，则x2=t2-1，x2+1
f（x）≤0，即
x2-31 2
+x2+1
≤0，即t2-6t+8≤0，（t-2）（t-4）≤09 2
∴2≤t≤4，所以2≤
≤4，所以x∈[-x2+1
，-15
]∪[3
，3
]，15
即A=[-
，-15
]∪[3
，3
]；15
（2）f（x）≥0恒成立也就是
x2- a1 2
+x2+1
≥0恒成立，9 2
即
x2+1 2
≥ a9 2
，x2+1
∵
≥1，∴a≤x2+1
，
x2+1 2 9 2 x2+1
令
=t，则t∈[2，4]，则y=x2+1
=t2+8 2t
(t+1 2
)，∴a≤y恒成立，∴a≤ymin，8 t
由导数可知，当t=2
时，ymin=2
×21 2
=28
，2
∴a≤22
（3）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴a+b≤
=
x2+1 2 9 2 x2+1 1 2
，x2+9 x2+1
由（2）可知a+b≤2
①，2
由g（x）=ax2-b≤0有解，ax2-b≤0有解，即a≤(
)max，b x2
∵b＞0，∴a≤(
)max=b x2
，b 3
∴3a-b≤0 ②
①+②可得a≤2 2
所以a的最大值为
，此时b=2 2
．3 2 2