问题
解答题
已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12．从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于
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答案
∵矩形ABCD的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，
∴AD＞4，AB＜2，
根据题意，可分为以下两种情况：
第一种情况，如图1，
当tan∠BAE=
时，设CE=x，BE=m，1 2
则AB=DC=2m，AD=m+x，
∵AB+AD=6，
∴2（2m+m+x）=12，
m=
，6-x 3
S梯形AECD=
（AD+EC）•DC，1 2
=
[（m+x）+x]•2m，1 2
=m（m+2x），
=
•6-x 3
，6+5x 3
=-
x2+5 9
x+4，8 3
＞0，6-x 3
+x＞4，6-x 3
∴x＜6，x＞3，
∴x的取值范围是3＜x＜6；
第二种情况，如图2，
tan∠AEB=
时，1 2
设CE=x，AB=CD=n，
则BE=2n，AD=2n+x，
∵矩形的周长为12，
∴AB+AD=6，
∴2（n+2n+x）=12，n=
，6-x 3
S梯形AECD=
（AD+EC）•DC，1 2
=
[（2n+x）+x]•n，1 2
=n（n+x），
=
•6-x 3
，6+2x 3
=-
x2+2 9
x+4，2 3
∵
＞0，2×6-x 3
+x＞4，6-x 3
∴x＜6，x＞0，
∴x的取值范围是0＜x＜6．