（1）由题得f（x）=x+

a

x

+a，设1≤x₁＜x₂，

则f(x1)-f(x2)=x1-x2+

a

x1

-

a

x2

=(x1-x2)

(x1x2-a)

x1x2

…（2分）

因为1≤x₁＜x₂，所以x₁-x₂0．所以f（x₁）-f（x₂）＜0…（4分）

所以f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在[1，+∞）上为增函数．…（5分）

（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，要满足f（3m）＞f（5-2m），

只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2…（7分）

（3）g（x）=xf（x）=x²+ax+a，由g（x）+2x+

3

2

＞0得：x2+a(x+1)+2x+

3

2

＞0，即a(x+1)＞-(x+1)2-

1

2

 ①

因为x∈[2，5]时，x+1∈[3，6]，那么①式可转化为a＞-(x+1)-

1

2(x+1)

…（9分）

所以题目等价于化为a＞-(x+1)-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函数y=-(x+1)-

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最大值．

即求y=(x+1)+

1

2(x+1)

在x∈[2，5]上的最小值．…（10分）

令t=x+1，则t∈[3，6]，所以y=t+

1

2t

，由（1）得y=t+

1

2t

，

在t∈[3，6]，上为增函数，所以最小值为

19

6

．所以-

19

6

＜a＜1．…（12分）