已知复数z满足|z|=2，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z，(.z)2

问题解答题

已知复数z满足|z|=

，z²的虚部为2．
（1）求复数z；
（2）设z，(

)2，z-z²在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；
（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m-z|=1求|m|的最值．

答案

（1）设Z=x+yi（x，y∈R）

由题意得Z²=（x-y）²=x²-y²+2xyi

∴

x2+y2

(1)

2xy=1(2)

故（x-y）²=0，∴x=y将其代入（2）得2x²=2，

∴x=±1

故

x=1

y=1

或

x=-1

y=-1

故Z=1+i或Z=-1-i；

（2）当Z=1+i时，Z²=2i，Z-Z²=1-i

所以A（1，1），B（0，2），C（1，-1）

∴|AC|=2，S△ABC=

×1×2=1

当Z=-1-i时，(

)2=-2i，Z-Z²=-1-3i，A（-1，-1），B（0，-2），C（-1，3）

S△ABC=

×1×2=1．

（3）由题知，z=1+i

设m=c+di，则m-z=（c-1）+（d-1）i

|m-z|=1，

∴（c-1）²+（d-1）²=1

则复数m在复平面内所对应的点为M的轨迹为（1，1）为圆心，1为半径的圆

所以|m|min=

-1，|m|max=