问题
解答题
已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点A(0，
（1）求双曲线C的方程； （2）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（-2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围． |
答案
（1）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0
∵该直线与圆x2+(y-
)2=1相切，∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．故设双曲线C的方程为2
-x2 a2
=1．y2 a2
又双曲线C的一个焦点为(
，0)，∴2a2=2，a2=1．2
∴双曲线C的方程为：x2-y2=1．
（2）由
得（1-m2）x2-2mx-2=0．令f（x）=（1-m2）x2-2mx-2y=mx+1 x2-y2=1
∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（-∞，0）上有两个不等实根．
因此
，解得1＜m＜△＞0
＜0且2m 1-m2
＞0-2 1-m2
．又AB中点为(2
，m 1-m2
)，1 1-m2
∴直线l的方程为：y=
(x+2)．令x=0，得b=1 -2m2+m+2
=2 -2m2+m+2
．2 -2(m-
)2+1 4 17 8
∵m∈(1，
)，∴-2(m-2
)2+1 4
∈(-2+17 8
，1)，2
∴b∈(-∞，-2-
)∪(2，+∞)．2
