①过点A（0，1）斜率为k的直线l的方程为：y=kx+1，

当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d=

|2k-2|

1+k2

=r=1，化简得3k²-8k+3=0，解得：k=

4± 7

3

，

因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：

4- 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；

②把直线方程与圆方程联立得

y=kx+1 (x-2)2+(y-3)2=1

，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁和x₂为（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的两个根，

则MN中点横坐标x=

x1+x2

2

=

2(1+k)

1+k2

，同理消去x得到关于y的一元二次方程（1+k²）y²-（2+4k+6k²）y+12k²+4k+1=0，

得到纵坐标y=

y1+y2

2

=

1+2k+3k2

1+k2

，

则线段MN的中点轨迹方程为：

x= 2(1+k) 1+k2 y= 1+2k+3k2 1+k2

；

③

AM

=（x₁，y₁-1），

AN

=（x₂，y₂-1），所以

AM

•

AN

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）=（1+k²）x₁x₂=7为常数．

④

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

7

1+k2

+

12k2+4k+1

1+k2

=12，即12k²+4k+8=12（1+k²），解得k=1．