问题 解答题
已知函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-
2
3

(1)求证:f(x)为减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
答案

(1)设在R上任意取两个数m,n且m>n

则f(m)-f(n)=f(m-n)

∵m>n∴m-n>0

而x>0时,f(x)<0则f(m-n)<0

即f(m)<f(n)

∴f(x)为减函数;

(2)由(1)可知f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).

∵f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0

∴f(0)=0

令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0即f(-x)=-f(x)

∴f(x)是奇函数

而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-2,则f(-3)=2

∴f(x)max=f(-3)=2,f(x)min=f(3)=-2.

判断题
单项选择题 B1型题