问题
解答题
已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=3，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有
（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明； （2）解不等式：f（x+
（3）若当a∈[-1，1]时，f（x）≤m2-2am+3对所有的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围． |
答案
（1）任取x1，x2∈[-1，1]，且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]，
∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=
•（x1-x2），f(x1)+f(-x2) x1-x2
由已知得
＞0，x1-x2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．f(x1)+f(-x2) x1-x2
∴f（x）在[-1，1]上单调递增．
（2）∵f（x）在[-1，1]上单调递增，∴
，解得x+
＜1 2 1 x-1 -1≤x+
≤11 2 -1≤
≤11 x-1
≤x＜-1，- 32
∴不等式的解集为{x|-
≤x＜-1}．3 2
（3）∵f（1）=3，f（x）在[-1，1]上单调递增，
∴在[-1，1]上，f（x）≤3，即m2-2am+3≥3，
∴m2-2am≥0对a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．
设g（a）=-2m•a+m2≥0，
①若m=0，则g（a）=0≥0，自然对a∈[-1，1]恒成立．
②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
则必须g（-1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．
∴m的取值范围是m=0或m≤-2或m≥2．