问题
解答题
已知函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y）．
（Ⅰ）求证：f（x）在R上是偶函数；
（Ⅱ）若f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，且有f（2a2+a+1）＜f（-2a2+4a-3），求实数a的取值范围．
答案
（Ⅰ）证明：函数f（x）对于一切x、y∈R，都有f（xy）=f（x+y）+f（x-y），
令x=0，得f（0）=f（y）+f（-y），…（1分）
再令y=x，得f（0）=f（x）+f（-x）．…①…（2分）
令y=0，得f（0）=f（x）+f（x）．…②…（3分）
①-②得f（-x）-f（x）=0，…（4分）
∴f（-x）=f（x）．…（5分）
故f（x）在R上是偶函数．…（6分）
（Ⅱ）因为f（x）在R上是偶函数，
所以f（x）的图象关于y轴对称．…（7分）
又因为f（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
所以f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．…（8分）
∵2a2+a+1=2(a2+
a+1 2
-1 16
)+1=2(a+1 16
)2+1 4
＞0，7 8
-2a2+4a-3=-2（a2-2a+1-1）-3=-2（a-1）2-1＜0，
∴2a2-4a+3＞0．…（9分）
∵f（-2a2+4a-3）=f（2a2-4a+3）．
原不等式可化为f（2a2+a+1）＜f（2a2-4a+3）…（10分）
∴2a2+a+1＜2a2-4a+3．解之得a＜
．…（11分）2 5
故实数a的取值范围是a＜
．…（12分）2 5
暴涨六七尺。睿遣所督将冯道根、李文钊、裴邃、韦寂等乘舰登岸，击魏洲上军尽殪。景宗因使众军皆鼓噪乱登诸城，呼声震天地。（魏将）杨大眼于西岸烧营，英自东岸弃城走。诸垒相次土崩，悉弃其器甲，争投水，死者十余万，淮水为之不流。景宗令军主将马广蹑大眼至濊水上，四十余里，伏尸相枕。义之出逐英至洛口，英以匹马入梁城，缘淮百余里，尸骸枕藉。生擒五万余人，收其军粮器械，积如山岳，牛马驴骡，不可胜计。景宗乃搜军所得生口万余人，马千匹，遣献捷。