问题
解答题
| 附加题 已知f（x）定义域为R，满足：①f（1）=1＞f（-1）；②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）． （1）求f（0），f（3）的值；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．（3）求
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答案
（1）∵f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
∴令y=x-1，得f（0）=f（x）f（x-1）+f（x-1）f（x-2）．
再令x=1，代入上式得：f（0）=f（1）f（0）+f（0）f（-1）．
∴f（0）[1-f（1）-f（-1）]=0．
∵f（1）=1＞0＞f（-1）
∴1-f（1）-f（-1）≠0
∴f（0）=0，
由上面的证明，得f（x）f（x-1）+f（x-1）f（x-2）=0．
即f（x-1）[f（x）+f（x-2）]=0，而f（x-1）不恒等于0
故f（x）+f（x-2）=0恒成立
对上式令x=3，得f（3）+f（1）=0⇒f（3）=-f（1）=-1
（2）对f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）令y=0，得
f（-x+1）=f（x）f（0）+f（x-1）f（-1）
由（1）得，f（-1）=-f（-1+2）=-1，f（0）=0
∴f（-x+1）=-f（x-1），即f（-x）=-f（x），
∴函数为奇函数
（3）f（1-2x）=f（-x-x+1）=-f2（x）+f（x-1）f（-x-1）
∴
f(1-2x)=-1 2
f 2(x)-1 2
f(x-1)f(x+1)1 2
∴
f(1-2x)+f2(x)=-1 2
f 2(x)-1 2
f(x-1)f(x+1)+f2(x)1 2
=
[f2(x)-f(x+1)f(x-1)] 1 2
∵f2（x）=1-f2（x-1）⇒f2（x）-f（x+1）f（x-1）=1-f（x-1）[f（x-1）+f（x+1）]
而f（x-1）+f（x+1）=0，所以f2（x）-f（x+1）f（x-1）=1
∴
f(1-2x)+f2(x)=1 2 1 2