问题
解答题
已知动点P到定直线l：x=2
（1）求动点P的轨迹c的方程； （2）若点N为轨迹C上任意一点（不在x轴上），过原点O作直线AB交（1）中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1•k2是否为定值？ （3）若点M为圆O：x2+y2=4上任意一点（不在x轴上），过M作圆O的切线，交直线l于点Q，问MF与OQ是否始终保持垂直关系？ |
答案
（1）设点P（x，y），依题意，有
=(x-
)2+y22 |x-2
|2
．2 2
整理，得
+x2 4
=1．y2 2
所以动点P的轨迹C的方程为
+x2 4
=1．y2 2
（2）由题意：设N（x1，y1），A（x2，y2），
则B（-x2，-y2）
+x12 4
=1，y12 2
+x22 4
=1y22 2
k1•k2=
•y1-y2 x1-x2
=y1+y2 x1+x2 y12-y22 x12-x22
=
=-2-
x12-2+1 2
x221 2 x12-x22
为定值．1 2
（3）M（x0，y0），则切线MQ的方程为：xx0+yy0=4
由
得Q(2xx0+yy0=4 x=2 2
，2
)4-2
x02 y0
=(x0-FM
，y0)，2
=(2OQ
，2
)4-2
x02 y0
•FM OQ
=2
x0-4+y02
=04-2
x02 y0
所以：
⊥FM
即MF与OQ始终保持垂直关系OQ