问题
解答题
已知两点M（-1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足|
（1）求动点P的轨迹方程； （2）若点A（t，4）是动点P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2+（y-2）2=4的位置关系． |
答案
（1）设P（x，y），则
=(2，0)，MN
=(x-1，y)，NP
=(x+1，y)．（2分）MP
由|
|•|MN
|=NP
•MN
，MP
得2
=2(x+1)，（4分）(x-1)2+y2
化简得y2=4x．
所以动点P的轨迹方程为y2=4x．（5分）
（2）由点A（t，4）在轨迹y2=4x上，则42=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x2+（y-2）2=4相离．（7分）
当m≠4时，直线AK的方程为y=
(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0，（8分）4 4-m
圆心（0，2）到直线AK的距离d=
，|2m+8| 16+(m-4)2
令d=
＜2，解得m＜1；|2m+8| 16+(m-4)2
令d=
=2，解得m=1；|2m+8| 16+(m-4)2
令d=
＞2，解得m＞1．|2m+8| 16+(m-4)2
综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相交；
当m=1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相切；
当m＞1时，直线AK与圆x2+（y-2）2=4相离．（14分）