问题
解答题
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且acosC-
（1）求角A的大小； （2）若a=1，求△ABC的周长的取值范围． |
答案
（Ⅰ）∵acosC-
c=b，1 2
∴根据正弦定理，得sinAcosC-
sinC=sinB．1 2
又∵△ABC中，sinB=sin（π-B）=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC-
sinC=sinAcosC+cosAsinC，1 2
化简得-
sinC=cosAsinC，结合sinC＞0可得cosA=-1 2 1 2
∵A∈（0，π），∴A=
；2π 3
（Ⅱ）∵A=
，a=1，2π 3
∴根据正弦定理
=a sinA
，可得b=b sinB
=asinB sinA
=sinB sin 2π 3
sinB，同理可得c=2 3 3
sinC，2 3 3
因此，△ABC的周长l=a+b+c=1+
sinB+2 3 3
sinC2 3 3
=1+
[sinB+sin（2 3 3
-B）]=1+π 3
[sinB+（2 3 3
cosB-3 2
sinB）]1 2
=1+
（2 3 3
sinB+1 2
cosB）=1+3 2
sin（B+2 3 3
）．π 3
∵B∈（0，
），得B+π 3
∈（π 3
，π 3
）2π 3
∴sin（B+
）∈（π 3
，1]，可得l=a+b+c=1+3 2
sin（B+2 3 3
）∈（2，1+π 3
]2 3 3
即△ABC的周长的取值范围为（2，1+
]．2 3 3