问题
解答题
在△ABC中，若sinA+sinB=sinC（cosA+cosB）．
（1）判断△ABC的形状；
（2）在上述△ABC中，若角C的对边c=1，求该三角形内切圆半径的取值范围．
答案
（1）根据正弦定理，原式可变形为：c（cosA+cosB）=a+b①，
∵根据任意三角形射影定理得：a=b•cosC+c•cosB，b=c•cosA+a•cosC，
∴a+b=c（cosA+cosB）+cosC（a+b）②，
由于a+b≠0，故由①式、②式得：cosC=0，
∴在△ABC中，∠C=90°，
则△ABC为直角三角形；
（2）∵c=1，sinC=1，∴由正弦定理得：外接圆半径R=
=c 2sinC
，1 2
∴
=a sinA
=b sinB
=2R=1，即a=sinA，b=sinB，c sinC
∵sin（A+
）≤1，π 4
∴内切圆半径r=
（a+b-c）=1 2
（sinA+sinB-1）=1 2
（sinA+sinB）-1 2
=1 2
sin（A+2 2
）-π 4
≤1 2
，
-12 2
∴内切圆半径的取值范围是（0，
]．
-12 2