当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．

∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．

设x₁，x₂∈[α，β]，则x₁＜x₂，且x₁，x₂＞3，

f（x₁）-f（x₂）=logm

x1-3

x1+3

-logm

x2-3

x2+3

=logm

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

∵（x₁-3）（x₂+3）-（x₁+3）（x₂-3）=6（x₁-x₂）＜0，

∴（x₁-3）（x₂+3）＜（x₁+3）（x₂-3）即

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜1，

∴当0＜m＜1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；

当m＞1时，log_m

(x1-3)(x2+3)

(x1+3)(x2-3)

＜0，即f（x₁）＜f（x₂），

故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．