问题
解答题
己知函数f(x)=
（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数； （Ⅱ）求函数f（x）的值域． （Ⅲ）令g(x)=
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答案
（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x1＜x2，则x2-x1＞0
y2-y1=f（x2）-f（x1）=
-2x2-1 2x2+1 2x1-1 2x1+1
=
=2•2x2-2•2x1 (2x1+1)(2x2+1) 2(2x2-2x1) (2x1+1)(2x2+1)
当x1＜x2时，2x1＜2x2
∴2x2-2x1＞0．又2x1+1＞0，2x1+1＞0
∴y2-y1＞0
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）：（1）∵2x=
，又2x＞0，1+y 1-y
∴-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）由题意知g（x）=
•x2 2 2x+1 2x-1
易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=
•(-x)2 2
=2-x+1 2-x-1
•x2 2
=-1+2x 1-2x
•x2 2
=-g（x）2x+1 2x-1
∴函数g（x）为奇函数．