问题
解答题
设M点是圆C：x2+（y-4）2=4上的动点，过点M作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，切线MA，MB分别交x轴于D，E两点．是否存在点M，使得线段DE被圆C在点M处的切线平分？若存在，求出点M的纵坐标；若不存在，说明理由．
答案
设存在点M（x0，y0）满足条件
设过点M且与圆O相切的直线方程为：y-y0=k（x-x0）
则由题意得，
=1，化简得：(x02-1)k2-2x0y0k+y02-1=0|-kx0+y0| 1+k2
设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1+k2=
，k1k2=2x0y0 x02-1 y02-1 x02-1
圆C在点M处的切线方程为y-y0=
(x-x0)-x0 y0-4
令y=0，得切线与x轴的交点坐标为(
+x0，0)y02-4y0 x0
又得D，E的坐标分别为(
+x0，0)，(-y0 k1
+x0，0)-y0 k2
由题意知，2(
+x0)=y02-4y0 x0
+x0+-y0 k1
+x0-y0 k2
用韦达定理代入可得，
=y 0-4 x0
，与x02+(y0-4)2=4联立，-x0y0 y02-1
得y0=13+ 105 8