已知圆C的方程为：x2+y2=4（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直

问题解答题

已知圆C的方程为：x²+y²=4
（1）求过点P（2，1）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线l过点D（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

，求直线l的方程；
（3）圆C上有一动点M（x₀，y₀），

=（0，y₀），若向量

，求动点Q的轨迹方程．

答案

（1）当k不存在时，x=2满足题意；

当k存在时，设切线方程为y-1=k（x-2），

由

|2-k|

k2+1

=2得，k=-

，

则所求的切线方程为x=2或3x+4y-10=0；

（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为（1，

）和（1，-

），这两点的距离为2

，满足题意；

当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0，

设圆心到此直线的距离为d，

∴d=

22-(

=1，即

|2-k|

k2+1

=1，

解得：k=

，

此时直线方程为3x-4y+5=0，

综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1；

（3）设Q点的坐标为（x，y），

∵M（x₀，y₀），

=（0，y₀），

，

∴（x，y）=（x₀，2y₀），

∴x=x₀，y=2y₀，

∵x₀²+y₀²=4，

∴x²+（

）²=4，即

=1．