问题
解答题
定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x）．当x∈（0，1）时有：f(x)=
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式； （2）判断f（x）在（0，1）上的单调性并用定义证明． |
答案
（1）设x∈（-1，0）则-x∈（0，1）
∵∀x∈R，f（-x）=-f（x），且x∈（0，1）时，f(x)=
，2x 4x+1
∴x∈（-1，0）时，有f(x)=-f(-x)=-
=-2-x 4-x+1
..（3分）2x 4x+1
在f（-x）=-f（x）中，令x=0，f（-0）=-f（0）⇒f（0）=0．（5分）
综上：当x∈（-1，1）时，有：f(x)=
（7分）
，x∈(0，1)2x 4x+1 -
，x∈(-1，0)2x 4x+1 0，x∈{0}
（2）f（x）在（0，1）上是减函数（8分）
证明：设0＜x1＜x2＜1则x2-x1＞0，0＜x1+x2＜2，∴2x1+x2＞1，2x2＞2x1．（10分）
∴f(x2)-f(x1)=
-2x2 4x2+1
=2x1 4x1+1
＜0（13分）(2x1-2x2)(2x1+x2-1) (4x1+1)(4x2+1)
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在（0，1）上是减函数（14分）