已知定义在R+上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y

问题解答题

已知定义在R⁺上的函数f（x）满足下列条件：①对定义域内任意x，y，恒有f（xy）=f（x）+f（y）；②当x＞1时f（x）＜0；③f（2）=-1

（1）求f（8）的值；

（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上为减函数；

（3）解不等式：f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3．

答案

（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=y=2，可得f（4）=f（2）+f（2）=-2，

令x=2，y=4可得，f（8）=f（2）+f（4）=-3，

则f（8）=-3；

（2）设0＜x₁＜x₂＜+∞，则

＞1，则f（

）＜0，

f（x₂）-f（x₁）=f（

•x₁）-f（x₁）=f（

）＜0，

即f（x₂）＜f（x₁），

则f（x）在（0，+∞）为减函数，

（3）f（2^x+2）-f（2^x-4）＜-3，即f（2^x+2）-f（2^x-4）＜f（8），

f（2^x+2）＜f（2^x-4）+f（8）=f[8•（2^x-4）]，

又由f（x）在（0，+∞）为减函数，

∴

2x+2＞8•(2x-4)

(2x-4)＞0

解得：2＜x＜3

故2＜x＜3．