问题
解答题
已知函数f(x)=
（1） 判断函数的奇偶性； （2） 证明函数f（x）在[-1，0]为增函数，并判断它在[0，1]上的单调性； （3） 求f（x）的最大值． |
答案
（1）由1-x2≥0，得，即函数的定义域为x|-1≤x≤1，关于原点对称．
又f(x)=
，则f(-x)=1-x2
=f（x）1-x2
所以函数f(x)=
是偶函数．1-x2
（2）设-1≤x1＜x2≤0，则f（x1）-f（x2）=
-1-x12 1-x22
=(
-1-x12
)(1-x22
+1-x12
)1-x22
+1-x12 1-x22
=
=(1-x12)-(1-x22)
+1-x12 1-x22
=x22-x12
+1-x12 1-x22 (x2-x1)(x2+x1)
+1-x12 1-x22
因为-1≤x1＜x2≤0，所以x2-x1＞0，x2+x1＜0，
+1-x12
＞01-x22
所以
＜0(x2-x1)(x2+x1)
+1-x12 1-x22
即f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在[-1，0]上是增函数．
同理可得：函数f（x）在[0，1]上是减函数．
（3）因为函数f（x）在[-1，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，
所以当x=0时f（x）可取最大值，
即ymax=f（0）=1