问题
解答题
已知圆x2+y2-2ax-6ay+10a2-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线L：y=x+m．
（1）若a=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（2）若m=2，求直线L被圆C所截得的弦长|AB|的最大值；
（3）若直线L是圆心C下方的切线，当a变化时，求实数m的取值范围．
答案
圆C的方程可化为（x-a）2+（y-3a）2=4a
∴圆心C（a，3a0，半径r=2a
（1）若a=2，则C（2，6），r=22
∵弦AB过圆心时最长
∴|AB|max=42
（2）若m=2，则圆心C（a，3a）到直线x-y+2=0的距离
d=
=|-2a+2| 2
|a-1|，r=22 a
直线与圆相交，∴d＜r，∴a2-4a+1＜0且0＜a≤4，
∴a∈(2-
，2+3
)3
又|AB|=2
=2r2-d2
=2-2a2+8a-2
，-2(a-2)2+6
∴当a=2时，|AB|max=2
，6
（3）圆心C（a，3a）到直线x-y+m=0的距离d=|-2a+m| 2
∵直线L是圆心C的切线，
∴d=r，即
=2|m-2a| 2
，|m-2a|=2a 2a
∴m=2a±22a
∵直线L是圆心C下方，
∴m=2a-22a
∵a∈（0，4]，
∴当a=时，mmin=-1； 当a=4时，mmax=8-4
，2
故实数m的取值范围是[-1，8-4
]2
