（1）∵向量

a

=（2cosx，2sinx），

b

=(cosx，-

3

cosx)，

又∵f（x）=

a

•

b

，

∴f(x)=2cos2x-2

3

sinxcosx

=2cos(2x+

π

3

)+1．　　　　　　　　　　　…（4分）

由2x+

π

3

=kπ(k∈Z)，得x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)，

即函数f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)．…（6分）

（2）由（1）知g(x)=2cos(

π

3

x+π)+ax+1=-2cos

π

3

x+ax+1

∵函数g（x）的图象关于y轴对称，

∴函数g（x）是偶函数，即a=0．

故g(x)=-2cos

π

3

x+1…（8分）

又函数g（x）的周期为6，

∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．

∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010．  …（11分）

（3）∵已知对任意实数x₁，x₂，都有|cos

π

3

x1-cos

π

3

x2|≤

π

3

|x1-x2|成立

∴对于任意x₁，x₂且x₁＜x₂，由已知得

π

3

(x1-x2)≤cos

π

3

x1-cos

π

3

x2≤

π

3

(x2-x1)．

∴g(x1)-g(x2)=2cos

π

3

x1+ax1+1-2cos

π

3

x2-ax2-1=2(cos

π

3

x1-cos

π

3

x2)+a(x1-x2)＜

2π

3

(x2-x1)+a(x1-x2)=(a-

2π

3

)(x1-x2)

∵a＞

2π

3

，

∴(a-

2π

3

)(x1-x2)＜0

即当x₁＜x₂时，恒有g（x₁）＜g（x₂）．

所以当a＞

2π

3

时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．…（16分）