问题 解答题
(文)函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0,
f(m)+f(n)
m+n
>0

(1)证明:f(x)在[-1,1]上是增函数;
(2)解不等式f(x+
1
2
)<f(
1
x-1
)

(3)若f(x)≤4t-3•2t+3对所有x∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围.
答案

证明:(1)任取-1≤x1<x2≤1.

∵f(x)为奇函数,

f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f(x1)+f(-x2)
x1-x2
•(x1-x2),

f(x1)+f(-x2)
x1-x2
>0,x1-x2<0,

∴f(x1)<f(x2),

∴f(x)在[-1,1]上是增函数

(2)f(x+

1
2
)<f(
1
x-1
)⇔
-1≤x+
1
2
≤1
-1≤
1
x-1
≤1
x+
1
2
1
x-1
⇔{x|-
3
2
≤x<-1}

(3)由(1)知f(x)在[-1,1]是增函数,且f(1)=1,

∴x∈[-1,1]时,f(x)≤1.

∵f(x)≤4t-3•2t+3对所有x∈[-1,1]恒成立,

∴4t-3•2t+3≥1恒成立,

∴(2t2-3•2t+2≥0即2t≥2或2t≤1

∴t≥1或t≤0.

单项选择题
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