问题
解答题
(文)函数f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若m,n∈[-1,1],m+n≠0,
(1)证明:f(x)在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式f(x+
(3)若f(x)≤4t-3•2t+3对所有x∈[-1,1]恒成立,求实数t的取值范围. |
答案
证明:(1)任取-1≤x1<x2≤1.
∵f(x)为奇函数,
∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=
•(x1-x2),f(x1)+f(-x2) x1-x2
∵
>0,x1-x2<0,f(x1)+f(-x2) x1-x2
∴f(x1)<f(x2),
∴f(x)在[-1,1]上是增函数
(2)f(x+
)<f(1 2
)⇔1 x-1
⇔{x|--1≤x+
≤11 2 -1≤
≤11 x-1 x+
<1 2 1 x-1
≤x<-1}3 2
(3)由(1)知f(x)在[-1,1]是增函数,且f(1)=1,
∴x∈[-1,1]时,f(x)≤1.
∵f(x)≤4t-3•2t+3对所有x∈[-1,1]恒成立,
∴4t-3•2t+3≥1恒成立,
∴(2t)2-3•2t+2≥0即2t≥2或2t≤1
∴t≥1或t≤0.