设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F

问题解答题

设f(x)=alog22x+blog4x2+1，（a，b为常数）．当x＞0时，F（x）=f（x），且F（x）为R上的奇函数．
（Ⅰ）若f(

)=0，且f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，g(x)=

f(x)+k-1

log2x

在[2，4]上是单调函数，求k的取值范围．

答案

（1）f（x）=alog₂²x+blog₂x+1

由f(

)=0得a-b+1=0，

∴f（x）=alog₂²x+（a+1）log₂x+1

若a=0则f（x）=log₂x+1无最小值．

∴a≠0．

欲使f（x）取最小值为0，只能使

a＞0

4a-(a+1)2

，知a=1，b=2．

∴f（x）=log₂²x+2log₂x+

设x＜0则-x＞0，

∴F（x）=f（-x）=log₂²（-x）+2log₂（-x）+1

又F（-x）=-F（x），

∴F（x）=-log₂²（-x）-2log₂（-x）-1

又F（0）=0∴F(-x)=

log22x+2log2x+1 (x＞0)

(x=0)

-log22(-x)-2log2(-x)-1 (x＜0)

（2）g(x)=

log22x+2log2x+1+k-1

log2x

=log2x+

log2x

+2．x∈[2，4]．

得log₂x=t．则y=t+

+2，t∈[1，2]．

∴当k≤0，或

≤1或

≥2时，y为单调函数．

综上，k≤1或k≥4．