问题
解答题
定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意m，n∈（-1，1），都有f(m)+f(n)=f(
（1）试判断f（x）的奇偶性； （2）判断f（x）的单调性，并证明之； （3）求证f(
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答案
（1）令m=n=0得f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-m）+f（m）=f（0）=0⇒f（-m）=-f（m）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）∵f(m)+f(n)=f(
)，m+n 1+mn
当-1＜m＜n＜1时，
＜0，由条件知f（m-n 1-mn
）＞0，m-n 1-mn
即f（m）-f（n）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）证明：∵f(
)=f（1 n2+3n+1
）=f[1 (n+1)(n+2)-1
]
+(1 n+1
)-1 n+2 1+(
)(1 n+1
) -1 n+2
=f（
）+f（1 n+1
）=f（-1 n+2
）-f（1 n+1
）1 n+2
∴f(
)+f(1 5
)+…+f(1 11
)1 n2+3n+1
=f（
）-f（1 2
）+f（1 3
）-f（1 3
）+…+f（1 4
）-f（1 n+1
）1 n+2
=f（
）-f（1 2
）1 n+2
∵0＜
＜11 n+2
∴f（
）＜01 n+2
∴f（
）-f（1 2
）＞f（1 n+2
）1 2
∴f(
)+f(1 5
)+…+f(1 11
)＞f(1 n2+3n+1
)．1 2