已知函数y=f（x）是定义在区间[-32，32]上的偶函数，且x∈[0，32]时

问题解答题

已知函数y=f（x）是定义在区间[-

，

]上的偶函数，且x∈[0，

]时，f（x）=-x²-x+5．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若矩形ABCD的顶点A，B在函数y=f（x）的图象上，顶点C，D在x轴上，求矩形ABCD面积的最大值．

答案

解（1）当x∈[-

，0]时，-x∈[0，

]．

∴f（-x）=-（-x）²-（-x）+5=-x²+x+5．又∵f（x）是偶函数，

∴f（x）=f（-x）=-x²+x+5．

∴f（x）=

-x2+x+5

x∈[-

，0]

-x2-x+5

x∈(0

（2）由题意，不妨设A点在第一象限，

坐标为（t，-t²-t+5），其中t∈（0，

]．

由图象对称性可知B点坐标为（-t，-t²-t+5）．

则S（t）=S_矩形ABCD=2t（-t²-t+5）=-2t³-2t²+10t．

s′（t）=-6t²-4t+10．由s′（t）=0，得t₁=-

（舍去），t₂=1．

当0＜t＜1时，s′（t）＞0；t＞1时，s′（t）＜0．

∴S（t）在（0，1]上单调递增，在[1，

]上单调递减．

∴当t=1时，矩形ABCD的面积取得极大值6，

且此极大值也是S（t）在t∈（0，

]上的最大值．

从而当t=1时，矩形ABCD的面积取得最大值6．